GUÍAS 10

QUERIDOS ALUMNOS, LES DOY LA BIENVENIDA A ESTE NUEVO AÑO ACADÉMICO 2021, RECUERDEN CUALQUIER INQUIETUD O DUDA, ESCRIBIR AL SIGUIENTES CORREOS: juliocruzuniga@gmail.com         d.sir.julio.cruz@cali.edu.co

FUNCIONES Y GRÁFICAS

Magnitud: es una cantidad física de la materia que se puede medir. Al estudiar los fenómenos que se producen en la naturaleza (procesos), se comprueba, que, en ellos, hay dos o más magnitudes relacionadas entre sí. Esto significa que al variar una de las magnitudes la otra también cambia.

Ejemplo: la fuerza de atracción que un imán ejerce sobre un clavo de acero y la distancia entre ambos. Cuando dos magnitudes están relacionadas, decimos que una es función de la otra

Función de proporcionalidad directa (variación directa)

Analicemos el siguiente acontecimiento de la vida cotidiana.

Una persona al recoger agua que sale de una manguera, obtiene los siguientes resultados:

En 5 segundos recoge 15 litros

En 10 segundos recoge 30 litros

En 30 segundos recoge 90 litros

Observe que al duplicar el tiempo empleado, el volumen también se duplica

Al multiplicar el tiempo empleado por 6, el volumen también lo hace

Siempre que esto sucede entre 2 magnitudes, decimos que existe, entre ambas una proporcionalidad directa: entonces podemos generalizar el ejemplo anterior de la siguiente manera, “El volumen de agua recogido es directamente proporcional al tiempo empleado”

La fase anterior se puede expresar simbólicamente así, V∞ t

Constante de proporcionalidad

Realicemos los cocientes (división) , para cada uno de los volúmenes y sus respectivos tiempos.

Observemos que el cociente V/t es igual a una constante → v/t es igual a K (v/t=K), en donde K es la constante de proporcionalidad.

V/t= k.t   →  V= 3.t que es la expresión matemática del proceso anterior

Ejemplo: se mide la masa de bloques de hierro de diferentes volúmenes obteniendo los siguientes resultados.

a)      ¿podemos decir que hay proporcionalidad directa entre la masa de un bloque de hierro y su volumen? ¿Por qué?

b)      ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad entre estas dos magnitudes? R// 8 g/cm³

c)      Al designar por m la masa de cada bloque y por v el volumen correspondiente; ¿Cómo podemos expresar matemáticamente la relación entre tales magnitudes? R// m= 8.v

Al soltar un cuerpo desde cierta altura obtuvimos los siguientes datos para las distancias recorridas durante los tiempos 1, 2 y 3 segundos de caída libre:

¿podemos decir que la distancia recorrida d es directamente proporcional al tiempo de caída t? ¿Por qué?

Representación gráfica

Otra forma de representar la relación entre dos magnitudes es por el método grafico.

Grafiquemos la masa (m) de los bloques de hierro en función del volumen (v) (m – v)

La grafica que representa una magnitud que varía en proporción directa respecto de otra, es una línea recta que pasa por el origen.

Pendiente de la gráfica (m)

Consideremos 2 puntos de la gráfica (A y C), entonces, ∆m= 24-8= 16g

                                                                                          ∆v=3-1=2cm³       

Entonces la pendiente (m)= ∆m/∆v= 16/2= 8 g/L

Podemos concluir que la pendiente de la gráfica corresponde a la constante de proporcionalidad, en la variación directa.

Conclusiones: consideremos dos magnitudes cualesquiera, a las que designaremos por X y Y, y si comprobamos que, al duplicar X, también se duplica Y, al triplicar X, también se triplica Y; entonces podemos afirmar que:

1.      Y es directamente proporcional a X, es decir Y ∞ X, y=ax, donde a es la constante de proporcionalidad

2.      La gráfica de Y en función de X es una recta que pasa por el origen

3.      La pendiente de la gráfica es igual a la constante de proporcionalidad

                    

FUNCIÓN LINEAL         

En la variación proporcional directa la ecuación general es: y=a.x, en donde x=0; entonces y=0; así la gráfica y en función de x (y-x) es una recta que pasa por el origen.

Hay casos en que esto no sucede, es decir, si x=0, entonces tenemos que y ≠ 0

Consideremos el caso de un resorte, al cual se le colocan masas en el extremo libre de este    

con los datos anteriores construiremos el grafico L – M

Observemos que cuando m=0, entonces L= 6 cm, y así la gráfica L – M es una recta que no pasa por el origen. Cuando esto sucede con dos variables, diremos que están relacionadas con una variación lineal, entonces en el ejemplo podemos decir que L varia linealmente con M.

Podemos generalizar de la siguiente manera: siempre que dos magnitudes, X y Y, se relacionan de manera que el grafico Y en función de X sea una recta que no pase por el origen podemos concluir que:

1.      Y varia linealmente con X

2.      La expresión matemática entre Y y X es de la siguiente manera y=a.b + b

3.      La constante a esta dada por la pendiente de la gráfica Y en función de X y b es el valor de Y cuando X=0

VARIACIÓN PROPORCIONAL AL CUADRADO (FUNCIÓN CUADRÁTICA)

Usted ya sabe que el área A de un cuadrado está dada por A=L², donde L es el lado de la figura, así:

Para L=1 m ---- A=1m²

Para L=2 m ---- A=4m²

Para L=3 m ---- A=9m²

Para L=4 m ---- A=16m²

Observe que al duplicar el lado L del cuadrado, su área A no se duplica, sino que se volvió cuatro veces mayor.

Al triplicar L el valor de A se vuelve 9 veces mayor.

Al cuadruplicar L el valor de A, se vuelve 16 veces mayor

En este caso decimos que el área A de un cuadrado es proporcional al cuadrado de su lado L y escribimos Aα L²

Ejemplo:

Con estos valores tracemos la gráfica en función de A-L

Naturalmente, la gráfica deberá pasar por el origen, pues cuando L=0, tenemos que A=0

Entonces podemos generalizar de la siguiente manera:

Si X y Y son dos magnitudes y comprobamos que: al duplicar X el valor de Y se vuelve 4 veces mayor, al triplicar X el valor de Y se vuelve 9 veces mayor.

Podremos afirmar que:

1.      Y es proporcional al cuadrado de X entones Y es α a X²

2.      Y=ax², donde a es la constante de proporcionalidad entre Y y X²

3.      El grafico Y en función de X es una parábola

 

VARIACION PROPORCIONAL AL CUBO (FUNCION CUBICA)

Hay situaciones en las cuales dos magnitudes, X y Y están relacionadas de modo que:

·         Al duplicar X el valor de Y se vuelve 8 veces mayor

·         Al triplicar el valor de X el valor de Y se vuelve 27 veces mayor.

·         Al cuadruplicar el valor de X el valor de Y se incrementa 64 veces

Observe que en este caso Y se incrementa en una proporción mayor que en la variación cuadrática, es decir, cuando X se multiplica por un factor, Y se multiplica por el cubo de dicho factor, cuando esto sucede decimos que Y es proporcional al cubo de X y escribimos de la siguiente manera Y α X³ o bien Y=aX³ donde a es la constante de proporcionalidad entre Y y X³.

Consideremos un cubo de arista (lado) de longitud L y volumen V. como se sabe, el volumen de un cubo está dado por la siguiente expresión V=L³. Esta relación muestra que el volumen (V) es proporcional al cubo de la arista L. por lo tanto cuando duplicamos la longitud de un lado L de una vasija cubica, el volumen de dicho recipiente se vuelve 8 veces mayor.

El grafico también es una parábola pero con una inclinación más pronunciada, que en la variación proporcional al cuadrado

RELACIONES INVERSAS

En el estudio de la proporcionalidad directa y de las variaciones lineales, cuadrática y cubica, vimos que la magnitud de Y se incrementa  a medida que X aumenta. Hay casos de relación entre dos variables donde el aumento de una ocasiona la reducción de la otra.

Proporcionalidad inversa

Consideremos dos magnitudes, X y Y, tales que, al duplicar X el valor de Y queda dividido entre dos.

Al triplicar X el valor de Y queda dividido entre 3.

Cuando esto sucede decimos que Y es inversamente proporcional a X, entonces podemos escribir Yα  y al introducir la constante de proporcionalidad A, tenemos que: Y=a  ----- Y=.

Ejemplo: supongamos que una persona realiza un viaje por automóvil en una distancia de 180 km entre una ciudad y otra. Sea X la velocidad del auto y Y, el tiempo transcurrido en el viaje. Es fácil concluir que:

Si X=30 km/h ------- Y=6 h

Si X=60 km/h ------- Y=3 h

Si X=90 km/h ------- Y=2 h

Si X=120 km/h ------- Y=1.5 h

Podemos observar que el tiempo de viaje es inversamente proporcional a la velocidad desarrollada.

La grafica obtenida es una curva la cual se conoce como hipérbola

Conclusión: cuando Y es inversamente proporcional a X, tenemos  que Y=, y la gráfica Y-X es una hipérbola, y a es la constante de proporcionalidad.

VARIACION CON INVERSO AL CAUDRADO

Hay situaciones en la cual, si X aumenta, Y disminuye en una proporción mayor que el caso anterior. Supongamos que:

·         Al duplicar x el valor de Y, se vuelve cuatro veces menor.

·         Al triplicar X el valor de Y, se vuelve nueve veces menor.

Cuando esto sucede decimos que: Y es proporcional al inverso del cuadrado de X, entonces podemos escribir Y=.

Si trazamos el grafico Y-X, obtenemos una curva parecida a la hipérbola

 

CINEMÁTICA

Es el estudio del movimiento sin preocuparse de sus causas.

Al estudiar el movimiento de un automóvil, podemos decir que se mueve en línea recta, que su velocidad es 60km/h y que luego aumenta a 80km/h, que describe una cueva. Se describe el movimiento del auto, pero no tratamos de explicar las causas de cada uno de estos hechos.

trayectoria: es la línea que resulta de unir todas las posiciones sucesivas ocupadas por un cuerpo durante su movimiento. Las trayectorias pueden ser de formas variadas, pero podemos considerar dos casos generales.

Movimiento rectilíneo: es aquel cuya trayectoria es una recta. Ej. el movimiento de un cuerpo que cae libremente sobre la superficie terrestre.

Movimiento curvilíneo: es aquel cuya trayectoria no es una recta. Ej. El movimiento de la luna alrededor de la tierra o de un proyectil lanzado oblicuamente.

Movimiento uniforme: cuando un cuerpo se desplaza con velocidad constante a lo largo de una trayectoria rectilínea o curvilínea decimos que su movimiento es uniforme.

Ejemplo: supongamos que un automóvil se desplaza por una carretera recta y plana y que su velocímetro siempre indica una velocidad de 60kg/h, esto significa que:

En 1 hora el auto recorrerá 60 km

En 2 horas el auto recorrerá 120 km

En 3 horas el auto recorrerá 180 km

En 4 horas el auto recorrerá 240 km

Observe que la distancia recorrida se obtiene multiplicando la velocidad por el tiempo: : d: v.t (distancia es igual a velocidad por tiempo), esta relación se aplica igualmente en el caso de que la trayectoria no sea rectilínea.

La gráfica d-t, en un movimiento con velocidad constante, será una recta, la cual pasa por el origen, y cuya pendiente (m) es igual al valor de la velocidad (v)

Grafica v-t (velocidad en función del tiempo)

La grafica v-t es una línea recta paralela al eje del tiempo, y que el área bajo dicha línea proporciona el valor de la distancia recorrida.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (ACELERADO)

Consideremos un automóvil cuyo velocímetro indica, en cierto instante, una velocidad de 30 km/h. si 1,0 segundo después, la indicación del velocímetro cambio a 35 km/h, podemos decir que la velocidad varió 5 km/h en 1,0 segundo. En otras palabras, el auto recibió una aceleración. El concepto de aceleración siempre se relaciona con un cambio en la velocidad.

El valor de la aceleración de un cuerpo está dado por la siguiente expresión:

·         Las unidades de aceleración en el SI (sistema internacional) es m/s²

·         Si la velocidad del cuerpo aumenta, el movimiento se denomina acelerado (el valor de a es positivo)

·         Si la velocidad disminuye en el tiempo decimos que el movimiento es retardado (el valor de a es negativo)

Calculo de la distancia recorrida (partiendo del grafico v- t)

Calculo de velocidad en función de la distancia y el tiempo

Comentarios: en el movimiento acelerado puede suceder que la velocidad en el instante t:0, es decir, su velocidad inicial sea nula (v₀:0). Cuando esto sucede, decimos que el cuerpo partió del reposo. En este caso, las ecuaciones del movimiento se vuelven naturalmente sencillas:

CAÍDA LIBRE

Como ya debe haber visto muchas veces, cuando se deja caer una piedra y una pluma al mismo tiempo, la piedra cae más deprisa como afirmaba Aristóteles. Pero es posible demostrar que tal cosa sucede porque el aire produce un efecto retardante en la caída de cualquier objeto, y que dicho objeto ejerce una mayor influencia sobre el movimiento de la pluma que el de la piedra. En realidad, si dejamos caer la piedra y la pluma dentro de un tubo de cual se extrajo el aire (tubo al vacío), comprobaremos que ambos objetos caen en forma simultánea o con la misma aceleración.

El movimiento de caída de los cuerpos en el vacío o en el aire, cuando se desprecia la resistencia de este último, se denomina caída libre.

En el vacío, una piedra y una pluma caen con la misma aceleración.

•        El movimiento de caída libre es acelerado, (uniformemente acelerado), es decir el cuerpo cae con una aceleración constante. Dicha aceleración recibe el nombre de aceleración de la gravedad (g). Experimentalmente se ha demostrado que el valor de g = 9,82 m/s² aproximadamente g = 10 m/s².
•          Si el cuerpo es lanzado en dirección vertical hacia arriba, su velocidad disminuirá (movimiento retardado) y el valor de la gravedad es negativo.

Ecuaciones de caída libre

Suponiendo que  el cuerpo  es lanzado hacia abajo  con una velocidad inicial  Vo, podemos aplicar las siguientes  ecuaciones  a = g:

  

En el movimiento ascendente, el movimiento es retardado (g es negativo).

Cuando el cuerpo se deja caer desde cierta altura sin velocidad (Vo = 0), las ecuaciones de caída libre son:

                  

SEGUNDO SEMESTRE (AGOSTO - DICIEMBRE)

CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES

Ø Analicemos las siguientes cantidades físicas

·         La temperatura de un niño con fiebre es 38°C

·         El volumen de un tanque es de 1.000 litros

·         En cada paquete hay 20 cigarrillos

Ø Observemos que, en estos ejemplos, las cantidades citadas quedan completamente definidas cuando se especifica su valor numérico (magnitud) y la unidad utilizada en la medida.

Todas las cantidades como las anteriores se denominan escalares.

·         Analicemos el siguiente ejemplo

Un niño tira con una cuerda un carro de juguete con una fuerza de 50N 

R//especificar una dirección y un sentido.

Una cantidad vectorial (como la anterior) queda completamente definida solo cuando se conoce su magnitud, su dirección y su sentido.

cantidades vectoriales: velocidad, desplazamiento, fuerza representación de una cantidad vectorial

Ø  las siguientes preguntas aclaran los conceptos de cantidad vectorial y cantidad escalar:

1.    si una persona se desplaza 50 metros desde un punto de partida, ¿podrá establecerse dónde está? ¿por qué?

2.    ¿Es posible que la persona habiendo caminado los 50 metros se encuentre en la posición inicial? ¿Por qué?

3.    Para establecer donde se encuentra la persona después de caminar los 50 metros, ¿Qué información se requiere?

4.    Si te dicen que la persona caminó los 50 metros sobre una recta que forma un ángulo de 20° con respecto a la aguja de una brújula que marca la dirección norte – sur, ¿podrías saber la posición de la persona? ¿Por qué? Ver figura

OPERACIONES CON VECTORES

Suma de vectores

Dos vectores se consideran iguales, si tienen el mismo valor e igual dirección y sentido.

Si los vectores tienen la misma dirección y sentido, el valor del vector suma (resultante) es simplemente la suma de sus valore. Si los vectores tienen la misma dirección y sentido contrario, el valor del vector resultante, será igual a la diferencia (ver figura)

Otro caso es cuando dos vectores forman entre si un Angulo β, ¿Cuál será el valor del vector resultante? Ver figura

Cuando los dos vectores forman un ángulo diferente de 90°, la resultante se resuelve utilizando el teorema de coseno. Ver figura.

RESULTANTE DE VARIOS VECTORES

El vector resultante (R), de varios vectores resulta de unir el origen del primer vector con la extremidad del último.

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Decimos que un cuerpo se encuentra en movimiento circular cuando su trayectoria es una circunferencia, como, por ejemplo, la trayectoria descrita por una piedra que se hace girar atada al extremo de una cuerda. Si además de eso, el valor de la velocidad permanece constante, el movimiento recibe el calificativo de uniforme. Entonces, en este movimiento el vector velocidad tiene magnitud constante, pero su dirección varia en forma continua (ver figura)

Periodo (T): es el tiempo que la partícula tarda en dar una vuelta completa. El espacio (distancia) recorrida por la partícula durante un periodo, es la longitud de la circunferencia L=2πR.

Donde n= número de giros y t=tiempo empleado en realizarlos.

  COMPONENTES DE UN VECTOR

Consideremos el vector A representado en la figura, tracemos a través del origen O del vector, OX y OY.

Desde la extremidad de A, se traza una normal a OX. Es decir, se proyecta el vector A sobre el eje Ox, y obtendremos así el vector Ax. Este vector Ax se denomina componente del vector A en la dirección X.

De la misma manera podemos obtener la componente de A en el eje OY, es decir la componente Ay.

De este modo, Ax y Ay se denominan componentes rectangulares del vector A. cuando determinamos las componentes rectangulares de un vector A, se obtienen dos vectores, Ax y Ay, que en conjunto pueden sustituir al vector A.

Los valores de las componentes se pueden calcular con las siguientes relaciones

Si conocemos Ax y Ay, se podrá obtener A por el teorema de Pitágoras: A² = Ax² + Ay²

El valor del ángulo ø se puede obtener mediante la siguiente expresión 

SUMA DE VECTORES POR DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR

Con el siguiente ejercicio aprenderás a sumar dos o más vectores, descomponiéndolos rectangularmente

Los vectores F₁ y F₂ mostrados en la figura, representan, dos fuerzas que actúan sobre un objeto. Encontrar el valor y la dirección de la fuerza resultante (suma) del sistema de fuerzas representado en la figura.

Desarrollo: hallamos el valor de las componentes 

F₁x= F₁ Cos 45 --- F₁x= -14.14 N

F₂x= F₂ Cos 60 --- F₂x= 5 N

F₁y= F₁ Sen 45 --- F₁y= 14.14 N

F₂y= F₂ Sen 60 --- F₂y= 8.66 N

Luego sumamos las componentes en el eje X y lo mismo en el eje Y

Sx=F₁x + F₂x ----------- Sx=(-14.14N) + (5N) --------- Sx=-9.14N

Sy=F₁y +F₂y ------------ Sy=(14.14N) + (8.66N) --------- Sx= 22.8N